加减法运算定律
交换律 · 结合律
a + b = b + a（交换律）
(a+b)+c = a+(b+c)（结合律）
a - b - c = a - (b+c)
(a+b)+c = a+(b+c)（结合律）
a - b - c = a - (b+c)
运算定律可以简化计算，凑整是关键！
📝 例：用简便方法计算 398 + 265 + 2
= (398 + 2) + 265 = 400 + 265 = 665
技巧：先找能凑成整百/整千的数！
= (398 + 2) + 265 = 400 + 265 = 665
技巧：先找能凑成整百/整千的数！
💡 做题口诀：加减看凑整，乘除找特殊，括号添删注意符号变！
乘法运算定律
交换律 · 结合律 · 分配律
a × b = b × a（交换律）
(a×b)×c = a×(b×c)（结合律）
(a+b)×c = a×c + b×c（分配律）
(a×b)×c = a×(b×c)（结合律）
(a+b)×c = a×c + b×c（分配律）
乘法分配律是小学最重要的定律之一！
📝 例：计算 102 × 35
= (100 + 2) × 35
= 100×35 + 2×35
= 3500 + 70 = 3570
= (100 + 2) × 35
= 100×35 + 2×35
= 3500 + 70 = 3570
💡 口诀：乘法分配律，括号前加减，每项都要乘！
面积公式大全
正方形·长方形·三角形·梯形·圆
正方形：S = a²
长方形：S = a × b
三角形：S = ½ × 底 × 高
梯形：S = ½ × (上底+下底) × 高
圆形：S = π × r²
长方形：S = a × b
三角形：S = ½ × 底 × 高
梯形：S = ½ × (上底+下底) × 高
圆形：S = π × r²
记住：所有面积都和"底×高"有关，圆记π≈3.14！
📝 例：一块梯形地，上底4m，下底8m，高5m，面积？
S = ½ × (4+8) × 5 = ½ × 12 × 5 = 30 m²
S = ½ × (4+8) × 5 = ½ × 12 × 5 = 30 m²
💡 记忆口诀：三角形面积半底高，梯形面积上加下除二再乘高！
周长公式
正方形·长方形·圆
正方形：C = 4a
长方形：C = 2×(a+b)
圆形：C = 2πr = πd
（π ≈ 3.14，r半径，d直径）
长方形：C = 2×(a+b)
圆形：C = 2πr = πd
（π ≈ 3.14，r半径，d直径）
周长是图形"一圈"的总长度，别和面积混淆！
📝 例：一个圆形花坛直径6m，围一圈需要多少米篱笆？
C = π × d = 3.14 × 6 = 18.84 m
C = π × d = 3.14 × 6 = 18.84 m
💡 周长是长度（m），面积是面积（m²），单位不同！
分数运算
加减乘除·约分通分
通分加减：先找公分母
a/b + c/d = (ad+bc)/(bd)
乘法：a/b × c/d = ac/bd
除法：a/b ÷ c/d = a/b × d/c
a/b + c/d = (ad+bc)/(bd)
乘法：a/b × c/d = ac/bd
除法：a/b ÷ c/d = a/b × d/c
分数除法变乘法：除以一个数等于乘以它的倒数！
📝 例：¾ ÷ ⅔ = ?
= ¾ × 3/2 = 9/8 = 1⅛
分数除法：翻转第二个分数，变成乘法！
= ¾ × 3/2 = 9/8 = 1⅛
分数除法：翻转第二个分数，变成乘法！
💡 口诀：加减先通分，乘除直接算，约分要及时，结果要最简！
速度·时间·路程
行程问题三角形公式
路程 = 速度 × 时间
速度 = 路程 ÷ 时间
时间 = 路程 ÷ 速度
（想象一个三角形：S / V×T）
速度 = 路程 ÷ 时间
时间 = 路程 ÷ 速度
（想象一个三角形：S / V×T）
行程问题三种：相遇（和）、追及（差）、返回！
📝 例：甲乙相距120km，甲40km/h，乙20km/h，同时相向而行，几小时相遇？
时间 = 路程 ÷ 速度之和
= 120 ÷ (40+20) = 120 ÷ 60 = 2小时
时间 = 路程 ÷ 速度之和
= 120 ÷ (40+20) = 120 ÷ 60 = 2小时
💡 相遇问题：总路程÷速度之和；追及问题：路程差÷速度差！
🧮 面积计算器
图形类型：
边长 a：
勾股定理
直角三角形三边关系
a² + b² = c²
（a、b为直角边，c为斜边）
常见组合：3-4-5，5-12-13，8-15-17
（a、b为直角边，c为斜边）
常见组合：3-4-5，5-12-13，8-15-17
勾股定理是初中最核心的几何定理！逆定理也成立。
📝 例：直角三角形两直角边为6和8，斜边为多少？
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10
💡 逆定理：已知三边满足a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形！验算必用。
一元二次方程
求根公式 · 韦达定理
ax² + bx + c = 0 (a≠0)
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
判别式 Δ = b²-4ac
Δ>0两个不等实根，Δ=0两个相等实根，Δ<0无实数根
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
判别式 Δ = b²-4ac
Δ>0两个不等实根，Δ=0两个相等实根，Δ<0无实数根
解方程顺序：因式分解→完全平方→求根公式，先用简单的！
📝 例：解方程 x² - 5x + 6 = 0
方法一（因式分解）：(x-2)(x-3) = 0
解得 x=2 或 x=3 ✓
方法二（公式法）：a=1,b=-5,c=6
Δ=25-24=1，x=(5±1)/2，x₁=3，x₂=2
方法一（因式分解）：(x-2)(x-3) = 0
解得 x=2 或 x=3 ✓
方法二（公式法）：a=1,b=-5,c=6
Δ=25-24=1，x=(5±1)/2，x₁=3，x₂=2
💡 韦达定理：两根之和 x₁+x₂ = -b/a，两根之积 x₁×x₂ = c/a
一次函数
斜率·截距·图像
y = kx + b (k≠0)
k>0：从左到右上升（正斜率）
k<0：从左到右下降（负斜率）
b：与y轴交点（y轴截距）
k>0：从左到右上升（正斜率）
k<0：从左到右下降（负斜率）
b：与y轴交点（y轴截距）
一次函数=直线图像，k决定方向，b决定上下位置！
📝 例：已知直线过点(0,3)和(2,7)，求函数表达式
b = 3（y轴截距）
k = (7-3)/(2-0) = 4/2 = 2
所以 y = 2x + 3
b = 3（y轴截距）
k = (7-3)/(2-0) = 4/2 = 2
所以 y = 2x + 3
💡 斜率公式：k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)，两点可唯一确定一条直线！
二次函数
抛物线·顶点·对称轴
y = ax² + bx + c (a≠0)
顶点：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
对称轴：x = -b/2a
a>0开口向上，a<0开口向下
顶点：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
对称轴：x = -b/2a
a>0开口向上，a<0开口向下
二次函数图像是抛物线，顶点是最高/最低点！
📝 例：y = x² - 4x + 3，求顶点和对称轴
对称轴：x = -(-4)/(2×1) = 2
顶点y值：y = 4 - 8 + 3 = -1
顶点 (2, -1)，对称轴 x=2
对称轴：x = -(-4)/(2×1) = 2
顶点y值：y = 4 - 8 + 3 = -1
顶点 (2, -1)，对称轴 x=2
💡 也可以配方：y=(x-2)²-1，顶点一目了然！
三角形全等与相似
SSS·SAS·ASA·AAS·HL
全等判定：SSS·SAS·ASA·AAS·HL
相似判定：AA·SAS·SSS
相似比 k：对应边比值相等
面积比 = 相似比²
相似判定：AA·SAS·SSS
相似比 k：对应边比值相等
面积比 = 相似比²
全等三角形对应边、对应角相等，是证明题的核心工具！
📝 相似三角形面积比：
若△ABC ∽ △DEF，AB:DE = 3:4
则 S△ABC : S△DEF = 3² : 4² = 9 : 16
若△ABC ∽ △DEF，AB:DE = 3:4
则 S△ABC : S△DEF = 3² : 4² = 9 : 16
💡 证题流程：找已知条件→凑全等/相似条件→写规范格式→得结论！
概率与统计
古典概型·平均数·方差
P(事件A) = 有利结果数 / 总结果数
平均数：x̄ = (x₁+x₂+...+xₙ)/n
方差：s² = Σ(xᵢ-x̄)²/n
标准差：s = √方差
平均数：x̄ = (x₁+x₂+...+xₙ)/n
方差：s² = Σ(xᵢ-x̄)²/n
标准差：s = √方差
方差反映数据的分散程度，方差越小越稳定！
📝 例：掷一枚骰子，出现3的倍数的概率？
3的倍数：{3, 6}，有利结果数=2
总结果数=6
P = 2/6 = 1/3
3的倍数：{3, 6}，有利结果数=2
总结果数=6
P = 2/6 = 1/3
💡 0 ≤ P(A) ≤ 1，必然事件P=1，不可能事件P=0！
📐 勾股定理计算器
已知直角边 a：
已知直角边 b：
（输入两项，第三项留空即可）
已知斜边 c：
三角函数
六大函数·特殊值·和差公式
sin²x + cos²x = 1（恒等式）
tan x = sin x / cos x
sin(30°)=½，sin(45°)=√2/2
sin(60°)=√3/2，sin(90°)=1
tan x = sin x / cos x
sin(30°)=½，sin(45°)=√2/2
sin(60°)=√3/2，sin(90°)=1
特殊角值要背熟！sin/cos/tan在四个象限的正负号也很重要！
📝 和差公式（重要！）：
sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB
cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
倍角公式：sin2A = 2sinAcosA
cos2A = cos²A - sin²A = 1 - 2sin²A = 2cos²A - 1
sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB
cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
倍角公式：sin2A = 2sinAcosA
cos2A = cos²A - sin²A = 1 - 2sin²A = 2cos²A - 1
💡 记忆口诀：sin对sin加减看符号，cos对cos乘积正负换！
等差数列
通项公式·前n项和
通项：aₙ = a₁ + (n-1)d
前n项和：Sₙ = n×(a₁+aₙ)/2
= n×a₁ + n(n-1)d/2
（d为公差，n为项数）
前n项和：Sₙ = n×(a₁+aₙ)/2
= n×a₁ + n(n-1)d/2
（d为公差，n为项数）
等差数列就是匀速变化的数列，公差d=相邻两项之差！
📝 例：等差数列首项a₁=2，公差d=3，求前10项之和
a₁₀ = 2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29
S₁₀ = 10×(2+29)/2 = 10×31/2 = 155
a₁₀ = 2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29
S₁₀ = 10×(2+29)/2 = 10×31/2 = 155
💡 等差中项：a、b、c成等差 ⟺ 2b=a+c（中间项=两端之平均）
等比数列
通项公式·前n项和
通项：aₙ = a₁ × q^(n-1)
前n项和（q≠1）：
Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)
（q为公比）
前n项和（q≠1）：
Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)
（q为公比）
等比数列就是倍增/倍减的数列，每项=前一项×公比q！
📝 例：等比数列a₁=2，公比q=3，求前5项之和
S₅ = 2×(1-3⁵)/(1-3) = 2×(1-243)/(-2) = 2×(−242)/(−2) = 242
S₅ = 2×(1-3⁵)/(1-3) = 2×(1-243)/(-2) = 2×(−242)/(−2) = 242
💡 等比中项：a、b、c成等比 ⟺ b²=ac（中间项的平方=两端乘积）
平面向量
加减法·数量积·模
向量模：|a| = √(x²+y²)
数量积：a·b = |a||b|cosθ
= x₁x₂ + y₁y₂
垂直条件：a·b = 0
平行条件：x₁y₂ - x₂y₁ = 0
数量积：a·b = |a||b|cosθ
= x₁x₂ + y₁y₂
垂直条件：a·b = 0
平行条件：x₁y₂ - x₂y₁ = 0
向量既有大小又有方向，数量积是标量（普通数）！
📝 例：a=(1,2)，b=(3,-1)，求a·b和a与b的夹角余弦
a·b = 1×3 + 2×(-1) = 3 - 2 = 1
|a| = √5，|b| = √10
cosθ = 1/(√5×√10) = 1/√50 = √2/10
a·b = 1×3 + 2×(-1) = 3 - 2 = 1
|a| = √5，|b| = √10
cosθ = 1/(√5×√10) = 1/√50 = √2/10
💡 数量积=0 ⟺ 两向量垂直；数量积=|a||b| ⟺ 同向平行！
排列与组合
Aₙᵐ · Cₙᵐ · 二项式定理
排列：Aₙᵐ = n!/(n-m)!
组合：Cₙᵐ = n!/[m!(n-m)!]
关系：Aₙᵐ = Cₙᵐ × m!
二项式：(a+b)ⁿ = Σ Cₙᵏ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
组合：Cₙᵐ = n!/[m!(n-m)!]
关系：Aₙᵐ = Cₙᵐ × m!
二项式：(a+b)ⁿ = Σ Cₙᵏ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
排列有顺序（乘m!），组合无顺序，记清区别！
📝 例：从5人中选3人参加比赛，有多少种选法？有顺序有多少种？
无顺序（组合）：C₅³ = 5!/(3!×2!) = 10 种
有顺序（排列）：A₅³ = 5!/2! = 60 种
60 = 10 × 6 = 10 × 3! ✓
无顺序（组合）：C₅³ = 5!/(3!×2!) = 10 种
有顺序（排列）：A₅³ = 5!/2! = 60 种
60 = 10 × 6 = 10 × 3! ✓
💡 口诀：有序用排列，无序用组合；选人不管顺序→组合；选人有职务→排列！
导数基础
求导公式·单调性·极值
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(eˣ)' = eˣ，(lnx)' = 1/x
f'(x)>0 单调递增；f'(x)<0 递减
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(eˣ)' = eˣ，(lnx)' = 1/x
f'(x)>0 单调递增；f'(x)<0 递减
导数=斜率=变化率，f'(x)=0处可能是极值点！
📝 例：f(x) = x³ - 3x，求单调区间和极值
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)
令f'(x)=0得x=±1
x∈(-∞,-1)时f'(x)>0，单调递增
x∈(-1,1)时f'(x)<0，单调递减
极大值f(-1)=2，极小值f(1)=-2
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)
令f'(x)=0得x=±1
x∈(-∞,-1)时f'(x)>0，单调递增
x∈(-1,1)时f'(x)<0，单调递减
极大值f(-1)=2，极小值f(1)=-2
💡 求极值三步：①求导→②令f'=0求驻点→③判断驻点两侧导数符号变化！
🔢 一元二次方程解方程器
ax² + bx + c = 0
a =
b =
c =
0
总得分
0
答对
0
已做
—
正确率